On considère les vecteurs `vec(a)=vec(i) +vec(j) +vec(k) ` , `vec(b)= -vec(i) + 3vec(j) +vec(k) ` , `vec(c)=(m^2-1)vec(i) +2mvec(j) +2(m^2-m-1) vec(k) `

a) les vecteurs `vec(a) , vec(b)` sont ils colinéaires ? Justifier la réponse

b) Déterminer les valeurs de `m` pour lesquelles les vecteurs `vec(a) ,vec(c)` sont colinéaire

2) Etudier l'alignement des points `A(1,2,3) , B(-1, 3, 2) ; C(3, -2, 1) `

a) les vecteurs `vec(a) , vec(b)` sont ils colinéaires ? Justifier la réponse

On a `vec(a)(1, 1, 1) ` et `vec(b)(-1, 3, 1) `

on a $$ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 -3 = -2 \ne 0 $$

Alors les vecteurs ne sont pas colinéaires

b) déterminer les valeurs de `m` pour lesquelles `vec(a) , vec(c)` sont colinéaires

On a `vec(a)(1, 1, 1) ` et `vec(c)(m^2-1, 2m, 2(m^2-m-1)) `

on a $$ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & m^2-1 \\ 1 & 2m \end{vmatrix} = 2m-(m^2-1) = -m^2+2m +1 $$

Résolvons `-m^2+2m+1 = 0 `

On a `Delta = 4 -4(-1)(1)= 8 => sqrt(Delta)= sqrt(4xx2)=2sqrt(2) `

donc `m_1 = (-2 -2sqrt(2))/(-2)= 1 + sqrt(2) `

et `m_2 = (-2+2sqrt(2))/(-2)= 1 -sqrt(2) `

alors ` -m^2+2m+1 = 0 <=> m =1+sqrt(2) text{ OU } m = 1-sqrt(2)`

on a $$ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & m^2-1 \\ 1 & 2(m^2-m-1) \end{vmatrix} = 2m^2-2m-2 -(m^2-1) = m^2-2m -1 $$

On a `m^2-2m-1 = 0 <=> -m^2+2m+1 = 0 `

alors selon ce qui précède `m =1+sqrt(2) text{ OU } m = 1-sqrt(2)`

On a on a $$ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2m \\ 1 & 2(m^2-m-1) \end{vmatrix} = 2(m^2-m-1) -2m = 2m^2-4m -2 $$

On a `2m^2-4m -2 = 0 <=> m^2-2m -1 = 0 `

alors ` -m^2+2m+1 = 0 <=> m =1+sqrt(2) text{ OU } m = 1-sqrt(2)`

Conclusion

les vecteurs `vec(a) , vec(c) ` sont colinéaires si et seulement si `m =1+sqrt(2) text{ OU } m = 1-sqrt(2)`